最大质因数
顾名思义，对于一个自然数n，它的所有是质数的因数中，最大的那个就是n的最大质因数。本文讨论如何求解一个数的最大质因数。
算法思想
对于一个数n，我们可以用k = 2,3,4,5…这样的数来尝试整除它。对于每一个k，如果它可以整除n，就令n = n / k，一直到k不能再整除n为止。
按照上述方法，最终一定会有一个数k使得n / k = 1,这个k就是我们要求解的最大质因数。
要正确的使用这个算法，理解它的原理是非常重要的。
正确性证明
首先需要了解这一点：任何合数都可以拆分成若干个质数的积。
做一个简单的证明：对于一个自然数n，它可以写成它的最大质因数a和另一个数b的乘积。即：n = a * b，其中b可能为合数也可能为质数。
如果b为质数，那么由于a是最大质因数，所以一定有b < a（否则b是一个更大的质因数，与a是最大质因数矛盾）。
如果b为合数，那么对于b一定会有相似的拆分。即b可以拆分为它的最大质因数c与另一个数d的乘积。即：b = c * d，同理，d可以为质数也可以为合数。显然，有c < a，因为c为b的质因数，b是n的因数，所以c也是n的质因数，那么c自然小于n的最大质因数a。
那么对于d可以再分吗？答案是肯定的，并且一直分下去，我们最后要分的数一定可以写成两个质数的乘积。因为我们发现不能确定是合数还是质数的数，即b、d这一类数，如果他们是合数，那么一定是越分越小的。每一次拆分保证它会变小！但是合数终归是有下界的，所以最后那个不能确定是合数还是质数的数一定是个质数。
经过这样一个类似于递归的过程，我们最终将n分为了最大质因数与若干个质数相乘的形式。所以让k从2开始递增，从小的因数开始剔除，最终剩下的那个因数就是最大质因数。
你可能会有疑惑：k = 2,3,4,5…但是4并不是质数啊？没错，但是这并不妨碍什么。事实上，k为合数的时候一定不会被n整除（注意n在程序中是变化的）。因为k如果是合数，它一定会被它的质因数（比它小）筛去。
再回顾一下，用k剔除因数的过程中，n也是在改变的（n /= k）。最终得到的k满足条件n / k = 1。之后n = n / k = 1。
这时的k一定是个质数，因为它没有被它之前的任何一个数给分解掉。如果k是一个合数，那么它一定会被它之前的某个数分解掉。并且k也是质因数中最大的，因为k是递增的。
代码实现
// 求m的最大质因数
long long m = 600851475143;
int k = 2; //即算法中描述的k
while (m > 1){
if (m % k == 0){
m /= k;
}
else{
++k; // k是递增的
}
}
//最终令m = 1的k就是最大质因数
cout << k << endl;
可以对代码进行改良。由于我们主要是用质数来筛除小的因数，让k以1为步长进行递增主要是为了省略求质数的工作。
容易发现所有的质数中只有2是偶数。所以我们可以对k = 2的情况进行单独处理，之后k = 3，以2为步长递增，即k += 2.
long long n = 600851475143;
// 对k = 2进行单独处理
while (n > 1)
{
if (n % 2 == 0)
n /= 2;
else
break;
}
// 之后k从3开始
int k = 3;
while (n > 1){
if (n % k == 0){
n /= k;
}
else{
k += 2; // 步长改为2，增加效率
}
}
cout << k << endl;
此外，根据如下事实还可以进行进一步的优化：
每个自然数最多只能有一个大于n\sqrt{n}n的质因数。
首先要明确，只要while循环没有满足n=1的条件，就说明仍然存在一个质因数未被我们检测出来，且这个质因数一定比已检测出来的质因数大。
在逐步筛除因数的过程中，可以维护k的一个上界：n\sqrt{n}n，一旦k超出这个上界，结合大于/sqrt(n)sqrt(n)sqrt(n)的质因数的唯一性，可以知道剩下的未检测出来的质因数一定只有一个！那么这个质因数就是答案。
令人兴奋的是，这个质因数就是n本身！可以简单证明一下：令该质因数为x，假设这个质因数x不是n，那么一定存在另一个数a与这个质因数x相乘等于n，即：a * x = n。由于x > n\sqrt{n}n，可知a < x，那么a应该在x之前被筛除掉才是，所以这样的一个a事实上是不存在的。所以假设不成立，即x = n。
附上代码：
long long n = 600851475143;
while (n % 2 == 0)
{
n /= 2;
}
int k = 3;
int maxFactor = sqrt(n);
while (n > 1 && k <= maxFactor)
{
if (n % k == 0)
{
n /= k;
maxFactor = sqrt(n);
}
else
{
k += 2;
}
}
if (n > 1)
k = n;
cout << k << endl;